Diferenciando funções

Ora aqui está um exemplo muito útil, baseada na definição de diff de John McCarthy, que calcula a derivada de um polinómio (funciona em Emacs Lisp e Common Lisp).

(defun differentiate (y x)
  "Calculates the derivative of y as a function of x. Only for polynomials y=P(x)
written in prefix notation."
  (cond ((atom y)
         (cond ((eq x y)
                1)
               (t
                0)))
        ((eq (car y) '+)
         (cons '+ (maplist (lambda (z)
                             (differentiate (car z) x))
                           (cdr y))))
        ((eq (car y) '*)
         (cons '+ (maplist (lambda (z)
                             (cons '* (maplist (lambda (w) (if (not (eq z w))
                                                               (car w)
                                                             (differentiate (car w) x)))
                                               (cdr y))))
                           (cdr y))))))

Alguns exemplos

1º

> (differentiate  'x 'x)

1

2º

> (differentiate '(* 2 x) 'x)

(+ (* 0 x) (* 2 1))

3º

> (differentiate '(* x (+ 1 x))  'x)

(+ (* 1 (+ 1 x)) (* x (+ 0 1)))

4º

> (differentiate '(* x (+ 1 y))  'x)

(+ (* 1 (+ 1 y)) (* x (+ 0 0)))

Uma procura na net revela muitas outras funções que fazem o mesmo que a anterior. Estranho é que aquela definida por John McCarthy não aparece em mais lado nenhum (para além das páginas de JMC) e, note-se, é bastante curta e directa. Basta apenas escrever uma outra função que simplifica o output para ficar completa. Claro que y pode ser escrito em ambas as formas

> (differentiate '(+ x (* 1 x) (+ 3 x)) 'x)

(+ 1 (+ (* 0 x) (* 1 1)) (+ 0 1))

> (differentiate '(+ 3 (* 3 x)) 'x)

(+ 0 (+ (* 0 x) (* 3 1)))

Created: NaN

Last updated: 24-03-2026 [22:44]

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Charters, T., "Diferenciando funções": https://nexp.pt/diff.html (24-03-2026 [22:44])

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