Raiz quadrada de um número positivo
Consideremos o problema de calcular a raiz quadrada de um número positivo , isto é, tal que e .
Como é que um computador calcula raízes quadradas? A maneira usual é usarmos o método de Newton para determinar a solução da equação . Começando com uma aproximação inicial para o valor da raiz quadrada de , conseguimos obter uma melhor aproximação calculando a média aritmética de e de .
Consideremos o cálculo de . Tomando o valor como aproximação inicial, obtemos a tabela:
Aproximação Quociente Média 1 2/1 (2+1)/2=1.5 1.5 2/1.5=1.3333 (1.3333+1.5)/2=1.4167 1.4167 2/1.4167=1.4118 (1.4167+1.4118)/2=1.4142 1.4142 ...
Continuando com este processo iremos obter de cada vez melhores aproximações ao valor de .
Este algoritmo na sua presente forma foi descoberto por Herão de Alexandria no século um A.C.
A forma recursiva está implementada na função em GNU/Octave heron.m
function y=heron(x,y,tol) while(abs(x-y.^2)>tol) y=heron(x,(y+x/y)/2,tol); endwhile; endfunction;
O cálculo de uma aproximação à raiz quadrada de que corresponde ao comando
heron(2,1,.001)
é de facto a composição seguinte (processo definido por recorrência linear):
> heron(2,1,.001) > heron(2,heron(2,3/2,.001),.001) > heron(2,heron(2,heron(2,17/12,.001),.001),.001) 577/408Palavras chave/keywords: matemática, raiz quadrada, Herão
Criado/Created: NaN
Última actualização/Last updated: 10-10-2022 [14:26]
(c) Tiago Charters de Azevedo