Placa ondulada
Exemplo de motivação, para a aula de hoje, para o cálculo de aproximações numéricas de integrais definidos.
A figura mostra o gráfico da função que modela uma placa ondulada obtida da deformação de uma placa de lado maior L.
Quer saber-se qual o comprimento L da placa original de modo a que a placa ondulada tenha as dimensões da figura. O valor de L pode ser obtido através do cálculo do integral
onde
Ora acontece que este integral com esta
escolha da função f é um integral elíptico que não pode ser expresso em termos
de funções elementares (por funções elementares entendem-se as seguintes:
polinómios, funções racionais, sin, cos, e^x, ln x, ...), a única forma de obter uma
aproximação ao valor de L é usando um
método numérico. Isso mesmo pode ser feito usando a instrução trapz
em GNU/Octave
> x=linspace(0,6,10000); trapz(x,sqrt(1+9*cos(3*x).^2)) ans = 13.171que calcula uma aproximação ao valor do integral dividindo o intervalo de integração, neste caso, em
10000
sub-intervalos e aproximando o valor de L
através da soma das áreas dos trapézios formados com os extremos de cada
sub-intervalo e as suas imagens.
A instrução seguinte mostra a convergência das sucessivas aproximações para o valor exacto onde a primeira coluna é o número de sub-intervalos considerados:
> for i=1:6; x=linspace(0,6,10^i);z(i)=trapz(x,sqrt(1+9*cos(3*x).^2));end; > [10.^[1:6]' z'] ans = 10 13.4567198483149 100 13.1730277692198 1000 13.1711968984003 10000 13.1711789419263 100000 13.1711787626897 1000000 13.1711787608981Palavras chave/keywords: Placa ondulada, matemática, GNU/Octave
Criado/Created: NaN
Última actualização/Last updated: 10-10-2022 [14:26]
(c) Tiago Charters de Azevedo